高校において数列の極限は数学IIIで, また, 積分は数学II, 数学IIIで取り上げられている. ただ, 数学II, 数学IIIで取り上げられている積分(定積分)は積分が存在する関数(数学IIにおいては多項式 関数)に対し, 積分を計算させる形で取り上げられることが多い. 数学IIIの積分の応用として, リーマン和から得られる数列の極限が定積分と一致することが示されている.
本講義では(有界)閉区間上の有界関数に対するリーマン積分の定義を行い, 連続関数はリーマン積分可能であることを述べる. 数学II, 数学IIIで取り上げられる関数はほとんどが連続関数であるので, そのような関数に対しては積分(リーマン積分)の存在が裏付けられることになる.
不連続点が有限個の関数はリーマン積分可能であることは, 比較的容易にわかるが, 不連続点の集合が可算集合である関数もリーマン積分可能になる. しかし, 連続でない関数でリーマン積分可能でないものも存在することを示す. このような現象を理解するためにはリーマン積分だけでなく, ルベーク積分を待たなければならない.
本講義は 2006 年 1 月 30 日(月)秩父高校で行った模擬授業と城西大学オープンキャンパス(2006 年 5 月 20 日(土))での模擬授業の内容を修正し、加筆したものである.

Rの部分集合Eとa∈Rに対し,任意のx∈Eに対し,x5a [x=a]のとき,Eは上に有界 [下に有界]といい,aをEの上界[Eの下界]という. Eに含まれるEの上界[下界]をEの最大数(または最大元)[最小数(または最小元)] といい, max E [min E] で表す. 最大数, 最小数 は存在する場合もあり, 存在しない場合もある. 例えば, E = (0, 1](左開区間)の時, max E = 1 で, min E は存在しない.
R の空集合でない部分集合 E が上に有界 [下に有界] なとき, E の上界全体 [下界全体] の集合を F とする. もし, minF [maxF] が存在するとき, minF [maxF] を E の上限 [下限] といい, sup E [inf E] で表す. 次のワイエルストラスの公理を公理として認めることにする.
ワエルストラスの公理
R の空集合でない部分集合 E が上に有界 [下に有界] ならば, sup E [inf E] が存在する.
I = [a, b] (= {x ∈ R : a 5 x 5 b}) : 閉区間(但し、a < b).
f(x) : I 上の有界関数. (i.e., ∃M > 0; |f(x)| 5 M(∀x ∈ I)).
∆:a=x0 <x1 <···<xn =b: [a,b]の分割(xi :この分割の分点).
k∆k = max (xk − xk−1) とおく. これを ∆ の ”目” (mesh) という. 15k5n
xk−1 5 ξk 5 xk (k = 1,2,··· ,n) にたいして、

近年「リメデアル教育」, 「高大接続」という言葉を耳にするようになった. では, 数学科において, このような用語を用いるのはどのような場合であろうか. 高校で数学IIIを「まったく履修してい ない」または「きちんと勉強していない」入学者が多くなっている現状を踏まえ, そのような学生に対し, 大学教育への橋渡しという意味合いで使われると考える. 1980年前後にも, 高校と大学のギャップを埋める取り組みが必要であるという「気運」はあり, 当数学科においても, 1年生専門選択 科目として「プロセミナー」と呼ばれる少人数クラスを開設している. この時, 問題になったのは, 数学科1，2年生の微積に出てくる「ε-δ論法」を学生に如何に理解させるかであった. 「リメデ アル教育」、「高大接続」を考える時, 数学III未履修者への教育のみならず, 「ε-δ論法」の学習も見 据えることが必要と考え, 本講義を模擬授業形式により高校生に紹介し, 数列, 積分を通して高大接続 の橋渡しを行った. 高校生からの反応は概して「難しい」というものであった. それでも, 公式だけ 暗記して, 問題を解くだけでなく, 粘り強く証明を理解する習慣を身につけることを期待する.